失業保険について！今月末で期間限定のバイトが終わります。今回の場合は雇用保険期間が6ヶ月ですから会社都合退職の場合のみ支給されます。ただし、自己都合で退職したのなら雇用保険での延長制度はありません。

失業保険が出るかどうかを知りたいです。
平成２３年５月～８月まで正社員で、４ケ月雇用保険を払いました。

平成２４年５月～６月だけ短期で働き、雇用保険に入ります。
合計６ケ月になりますが、雇用保険は支給されますか？

23年8月までの被保険者期間は、本年の8月までに雇用保険へ加入で通算されます。
従って5月6月の2カ月間、雇用保険に加入すれば合計6カ月ということになります。

会社都合等の理由での離職であれば6カ月間の被保険者期間があればいいのですが、当初から2カ月限定の短期就労では離職理由は会社都合にはならず自己都合になります。
自己都合の場合は1年以上の被保険者期間が必要なので、6カ月では雇用保険の受給は無理です。

知り合いが今失業保険をもらっています
何度も職安に通い面接を受けてますが
ことごとく落ちています
失業保険が今月で切れるみたいですが

もしこのまま仕事がみつからない場合はどうすればいいですか？
失業保険の延長はできませんか？

その方が会社都合で退職されたのなら「個別延長給付」という制度があります。
＜個別延長給付＞
解雇等会社理由での退職の場合で受給期間が終了しても職に就くことが出来ない場合に６０日の期間延長が認められる場合があります。（最終認定日に言われる場合が多い）
認定日に欠席がないか、規定以上の求職活動を積極的にしていたかとか、職業訓練を受講した実績などが考慮されハローワークの判断によりますがほとんどが認定されています。
「個別」というのは個別に呼ばれて話があるところから来ているという説もあります。
基本は45歳未満ですが、職安所長が支給を認めた場合はこの限りではありません。
目安とされるのは応募実績で、所定給付日数が90日又は120日の方 1回以上、150日又は180日の方 2回以上、所定給付日数が210日又は240日の方 3回以上、所定給付日数が270日の方 4回以上、所定給付日数が330日の方 5回以上となっています。
ただし、自己都合で退職したのなら雇用保険での延長制度はありません。

失業保険について！
今月末で期間限定のバイトが終わります。失業保険を半年分かけてきたのですが、期間満了ということで、
待機期間を待たずすぐに失業手当てをもらえるのでしょうか？

tadanakinureteさんの回答はいかがな物かと思います。
事故が初めからわかっている場合は対象外という言い方は誤解を招きます。
対象外ではなくて退職理由と雇用保険加入期間によって左右されると言うのが正しい言い方でしょう。
会社都合の場合は1年間に6ヶ月以上、自己都合の場合は2年間に12ヶ月以上の雇用保険被保険者期間が必要です。
最初から分かっていても雇用保険は支給されないことはありません。
雇用保険期間が満たされれば支給されます。

本題ですが、期間満了なら会社都合扱いですから給付制限3ヶ月は付きません（待機期間ではありません）
あなたが更新の可能性があったのに断ったりした場合は自己都合になって給付制限3ヶ月が付きます。
今回の場合は雇用保険期間が6ヶ月ですから会社都合退職の場合のみ支給されます。従ってあなたは3ヶ月待たずに1ヶ月程度で支給されます。