中退共ですので、６０歳で退職金はいったんもらえます。失業保険をいただいていましたが残り７３日の時点でパートの仕事を始めました。ある会社で昨年の１０月から今年の４月末まで７ヶ月間雇用保険に入っていました。

６０歳定年ですが、６５歳まで雇用延長が可能です。
中退共ですので、６０歳で退職金はいったんもらえます。
会社側は、延長は本人の意思にまかせています。
もし、６０歳で退職した場合、失業保険は自己退職扱いになって三か月後になるのでしょうか？
金額もどうなるのでしょうか？

中退共の件のみ回答します。継続して勤務され、引き続き会社が中退共に加入してくれるのなら、６０歳でもらわず６５歳でもらったほうが懸命です。勤続年数が長いほど、率があがってきますから。

失業保険をいただいていましたが残り７３日の時点でパートの仕事を始めました。
職安に届けは出してあります。

その仕事はシフトが自分の希望とあわないときがありできないなら他に人をいれないといけないので
かなり時間数が減るかもと言われました。
時給も安く時間も少なくなるならやめたいと思っています。やるかやらないか返事をしないといけません。

パートを始めたのは９月２１日です。

失業保険の受給満了日は２４年４月２８日です

仕事を辞めて求職活動をしたらまた失業保険がもらえるのでしょうか？

あと何か気をつけることあれば教えて下さい。

受給中に再就職しマタ退職する子になったら
退職した会社から発行される離職票又は受給手続きのときに貰った
雇用保険のしおりに添付されている離職事項証明書を事業主に記載して貰ったものを安定所に提出すれば
提出した日から受給満了日までの日まで支給されます
只再開をするので求職活動は必要になります

失業保険についてです。ある会社で昨年の１０月から今年の４月末まで７ヶ月間雇用保険に入っていました。その後会社をやめ雇用保険が一度切れたんですが、再度同じ会社で８月から勤め始めました。
この場合、もし今年の１２月末で辞めたら（雇用保険期間５ヶ月）失業保険受給資格はあるのでしょうか？

質問者様は、就業されていた期間を簡単に書いていますが、これについては正確に記さないと正しく判断できません。

＞＞昨年の１０月から今年の４月末まで７ヶ月間雇用保険に入っていました。

これが、（被保険者資格取得日）10月1日～（被保険者資格喪失日）4月30日であり、各月の出勤日数が11日以上あるならば、「被保険者期間７ヶ月」にはなります。

しかし、『１０月から』というのが、10月の途中からという意味だったり、『４月末まで』というのが、連休に入る前の27日で退職、などのように、１日でも期間が欠けたら、「被保険者期間は６ヶ月」と数えられてしまいます。

因みに、「10月から4月まで、雇用保険料は７ヶ月引かれている」としても、それは関係ありません。被保険者期間の月数は、保険料納付回数とは関係なく、あくまでも被保険者資格があった期間です。
極端に言えば、保険料が引かれていないようなことでも、被保険者資格があるなら、被保険者期間に問題はなしです。

また、同じく
＞＞再度同じ会社で８月から勤め始めました。この場合、もし今年の１２月末で辞めたら（雇用保険期間５ヶ月）

これも、（被保険者資格取得日）8月1日～（被保険者資格喪失日）12月31日であり、各月の出勤日数が11日以上あるならば、「被保険者期間５ヶ月」にはなります。

７ヶ月と５ヶ月で、合計12ヶ月で受給資格があるかどうか、ということを意識されているようなので、
おそらく、自己都合退職であり、２件を通算することができる状態で、１２ヶ月を満たすことになるかどうかが心配だという話でしょう。

ならば、就職・退職については、正確に日にちを、きちんと確認されてください。
質問内容では、就職したとき＝被保険者資格取得日は、就職月の１日。退職はその月の最終の日。
それを１日でも欠けたら、被保険者期間12ヶ月にはなりません。

特に注意をするのは、12月末で辞めるという場合。
よくあるのは、会社の年末休業や、役所の仕事納めの関係で、退職日を12月28日で、などとされてしまう場合です。
会社休業や、ハローワークの仕事納めは関係なく、12月末日退職だから12月31日までだ、ということを自分から言っておくことをおすすめします。